Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中左焦点为F（-2，0）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x²+y²=1外，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意列关于a，b，c的方程组，联立方程组求得a，b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0及AB中点在椭圆外部求解m的取值范围．

解答 （ I）由题得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=2}\\{c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2\sqrt{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消去y得：3x²+4mx+2m²-8=0．
△=96-8m²＞0，得$-2\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$，
∴${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{2m}{3}$，${y}_{0}={x}_{0}+m=\frac{m}{3}$，
∵M（x₀，y₀）在圆x²+y²=1外，
∴$（-\frac{2m}{3}）^{2}+（\frac{m}{3}）^{2}＞1$，解得$m＜-\frac{3\sqrt{5}}{5}$或m$＞\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴$-2\sqrt{3}＜m＜-\frac{3\sqrt{5}}{5}$或$\frac{3\sqrt{5}}{5}＜m＜2\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．