Question

弹性题：已知函数f（x）在（0，+∞）上有意义，且满足下列条件：①f（x）在（0，+∞）上递减，且f(x)＞

1

x2

；②在（0，+∞）上在恒有f2(x)•f[f(x)-

1

x2

]=f3(1)．
（1）求f（1）； 
（2）写出一个满足题设条件的函数f（x）．

Answer 1

分析：（1）由

f2(1)f[f(1)-1]=f3(1) f(1)＞1

，知f[f（1）-1]=f（1），由f（x）在（0，+∞）上是减函数，能求出f（1）．
（2）设f(x)=

a

x2

，由f（1）=2，知a=2，可证明f(x)=

2

x2

在（0，+∞）上是减函数，f2(x)f[f(x)-

1

x2

]=(

2

x2

)2f(

2

x2

-

1

x2

)=

4

x2

f(

1

x2

)=8=f3(1)，所以f(x)=

2

x2

满足题设的两个条件．

解答：解：（1）由已知得

f2(1)f[f(1)-1]=f3(1) f(1)＞1

∴f[f（1）-1]=f（1）
又f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴f（1）-1=1即
∴f（1）=2
（2）设f(x)=

a

x2

，
∵f（1）=2
∴a=2，可证明f(x)=

2

x2

在（0，+∞）上是减函数，符合条件（1）又f2(x)f[f(x)-

1

x2

]=(

2

x2

)2f(

2

x2

-

1

x2

)=

4

x2

f(

1

x2

)=8=f3(1)，符合条件（2）
∴f(x)=

2

x2

满足题设的两个条件．

点评：本题考查函数值的求法，写出一个满足题设条件的函数f（x）．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．