Question

8．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的方程为4ρcosθ-ρsinθ-25=0，曲线W：$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y={t}^{2}-1}\end{array}\right.$（t是参数）．
（1）求直线l的直角坐标方程与曲线W的普通方程；
（2）若点P在直线l上，Q在曲线W上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据直角坐标与极坐标的对于关系得出直线l的直角坐标方程，使用代入消元法小区参数方程中的t得出曲线W的普通方程；
（2）设Q点坐标（2t，t²-1），代入点到直线的距离公式，利用二次函数的性质得出|PQ|的最小值．

解答 解：（1）因为4ρcosθ-ρsinθ-25=0，由直角坐标与极坐标的转化公式可得4x-y-25=0，
所以直线l的直角坐标方程为4x-y-25=0，
由$W：\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y={t^2}-1\end{array}\right.$消去t得$y=\frac{1}{4}{x^2}-1$．
曲线W的普通方程为$y=\frac{1}{4}{x^2}-1$． 
（2）依题意设点Q（2t，t²-1），则点Q到直线l的距离为$\frac{{|{8t-{t^2}+1-25}|}}{{\sqrt{{4^2}+{{（-1）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{17}}}{17}|{{t^2}-8t+24}|=\frac{{\sqrt{17}}}{17}|{{{（t-4）}^2}+8}|≥\frac{{8\sqrt{17}}}{17}$，
当且仅当t=4时去等号，所以|PQ|得最小值为$\frac{{8\sqrt{17}}}{17}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，距离公式及参数的应用，属于中档题．