Question

设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的最值；
（Ⅲ）证明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程组，即可a，b的值；
（Ⅱ）确定函数在（0，1.5）上单调递增，在（1.5，+∞）上单调递减，可得函数的最大值，无最小值；
（Ⅲ）构造函数g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，利用导数求得g（x）的最大值为0，即得g（x）≤0即f（x）≤2x-2．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x+ax²+blnx过点P（1，0），
∴f（1）=1+a=0，即a=-1．
函数f（x）=x-x²+blnx的导数为f′（x）=x-2x+

b

x

，
∵曲线y=f（x）过点P（1，0）且在点P处的切线斜率为2，
∴k=f′（1）=1-2+b=2，解得b=3，
即a=-1，b=3．
（Ⅱ）解：f（x）=x-x²+3lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）=1-2x+

3

x

=-

(x+1)(2x-3)

x

，
∴函数在（0，1.5）上单调递增，在（1.5，+∞）上单调递减，
∴x=1.5时，函数取得最大值-0.75+3ln1.5，无最小值；
（Ⅲ）证明：f（x）的定义域为（0，+∞）
由（1）知f（x）=x-x²+3lnx
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx
则g′（x）=-1-2x+

3

x

=-

(x-1)(2x+3)

x

，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
当x＞1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
而g（1）=0，
故当x＞0时，g（x）≤0即f（x）≤2x-2．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值；会将解不等式问题转化为求函数最值问题解决，考查对构造函数及划归思想的运用能力，属于中档题．