Question

2．已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的两条渐进线为l₁、l₂，且l₁与x轴所成的夹角为30°，且双曲线的焦距为$4\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l，l与椭圆C相交于A、B，与圆O：x²+y²=a²相交于D、E两点，当△OAB的面积最大时，求弦DE的长．

Answer 1

分析 （1）因为直线l₁的倾斜角为30°，所以$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因为双曲线的焦距为4$\sqrt{2}$，所以c=4再根据a，b，c关系，可得椭圆方程．
（2）设直线l的方程为：my=x-2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得弦弦长|AB|，利用点到直线的距离公式可得原点到直线l的距离d，再利用S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|d，导利用基本不等式求最值，及直线方程，再求圆的弦．

解答 解：（1）由已知得$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，a²+b²=8．解得：a²=6，b²=2，∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）解：∵椭圆C的右焦点F（2，0），故设直线l的方程为：x=my+2．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$得化为（3+m²）y²+4my-2=0．
|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}（{m}^{2}+1）}{3+{m}^{2}}$，点O到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
S_△OAB=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{2\sqrt{6}\sqrt{{m}^{2}+1}}{3+{m}^{2}}$，
令$\sqrt{{m}^{2}+1}$=t≥1，S_△OAB=f（t）=$\frac{2\sqrt{6}t}{{t}^{2}+2}=\frac{2\sqrt{6}}{t+\frac{2}{t}}≤\sqrt{3}$，
当t=$\sqrt{2}$，即m=±1时，△OAB的面积最大．
此时直线l的方程为：x=±y+2，
圆心O到直线l的距离为d₁=$\sqrt{2}$，DE=2$\sqrt{{r}^{2}-{{d}_{1}}^{2}}=4$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．