Question

12．已知函数f（x）=sinωx（sinωx+$\sqrt{3}$cosωx），（ω＞0）且函数y=f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（$\frac{π}{12}$）的值；
（2）求函数y=f（x+$\frac{π}{12}$）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将函数化简为正弦型函数，利用T=$\frac{2π}{ω}$求出ω的值，即求出函数f（x）表达式，将x=$\frac{π}{12}$代入即可；
（2）由（1）可知f（x）表达式，求出y=f（x+$\frac{π}{12}$）的表达式，利用三角函数单调性求解值域，即其取值范围．

解答 解：（1）由题意得：
f（x）=sinωx（sinωx+$\sqrt{3}$cosωx）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx=$\frac{1}{2}$（1-cos2ωx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
又因为ω＞0且函数y=f（x）的最小正周期为π，
所以T=$\frac{2π}{2ω}$=π，所以ω=1，
所以f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
所以f（$\frac{π}{12}$）=sin（2$•\frac{π}{12}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知，
f（x+$\frac{π}{12}$）=sin[2（x+$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}$]+$\frac{1}{2}$=sin2x+$\frac{1}{2}$，
又因为x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
所以2x∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
所以sin2x∈[$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
所以sin2x+$\frac{1}{2}$∈[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
所以函数y=f（x+$\frac{π}{12}$）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的取值范围为[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 （1）本题主要考察了二倍角公式和辅助角公式，以及正弦型函数，难度中等；（2）本题利用整体代入法求函数值域，关键在于对三角函数单调性的掌握，利用其单调性求出其值域即可．