Question

4．已知a₁=a，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：S_n²=3n²a_n+S_n-1²，a_n≠0，n=2，3，4，…，设数列{b_n}满足：b_n=a_2n，n∈N^*．
（1）证明数列{b_n}是等差数列，并求出数列{b_n}的公差；
（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a_n}是单调递增数列．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推公式，建立方程组，结合等差数列的定义进行证明即可．
（2）根据数列{a_n}是单调递增数列，建立不等式关系进行递推求解即可．

解答 解：（1）当n≥2时，由已知得S_n²-S_n-1²=3n²a_n，．
因为a_n=S_n-S_n-1≠0，所以S_n+S_n-1=3n² ①．于是S_n+1+S_n=3（n+1）² ②．
由②-①得a_n+a_n+1=6n+3 ③．
于是a_n+2+a_n+1=6n+9  ④．
由④-③得a_n+2-a_n=6   ⑤，
所以b_n+1-b_n=a_2n+2-a_2n=6，
即数列{b_n}是等差数列，公差是6． （6分）
（2）由题意知S₂+S₁=12，
所以a₂=12-2a，而a₂+a₃=15，a₃+a₄=21，
所以a₃=3+2a，a₄=18-2a．（8分）
数列{a_2k}和{a_2k+1}分别是以a₂，a₃为首项，6为公差的等差数列，
所以a_2k=a₂+6（k-1），a_2k+1=a₃+6（k-1），
a_2k+2=a₄+6（k-1），（ k∈N^*）．   （10分）
因此，数列{a_n}是单调递增数列?a₁＜a₂且a_2k＜a_2k+1＜a_2k+2对任意的k∈N^*成立
?a₁＜a₂且a₂+6（k-1）＜a₃+6（k-1）＜a₄+6（k-1），
?a₁＜a₂＜a₃＜a₄?a＜12-2a＜3+2a＜18-2a?$\frac{9}{4}$＜a＜$\frac{15}{4}$．
所以，a的取值集合是M={a|$\frac{9}{4}$＜a＜$\frac{15}{4}$}．    （12分）

点评 本题主要考查递推数列的应用，结合等差数列的定义，利用方程组法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力，运算量较大，综合性较强．