Question

5．已知函数f（x）=$\frac{lnx+k}{{e}^{x}}$（其中k∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），f′（x）为f（x）的导函数．
（1）若f′（1）=0，求函数g（x）=f（x）e^x-x的极大值；
（2）若x∈（0，1]时，方程f′（x）=0有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，令f′（x）=0，求出k=1，求出g（x）的表达式，从而求出g（x）的单调性，单调g（x）的最大值即可；
（2）解出k=$\frac{1-xlnx}{x}$，令F（x）=$\frac{1-xlnx}{x}$，求出F（x）的单调性，得到F（x）≥F（1）-1，从而求出k的范围即可．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{lnx+k}{{e}^{x}}$，
得f′（x）=$\frac{1-kx-xlnx}{{xe}^{x}}$，x∈（0，+∞），
由f′（1）=0得：k=1，
∴g（x）=lnx+1-x，g′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
∴g（x）在（0，1]递增，在（1，+∞）递减，
∴g（x）的最大值是g（1）=0；
（2）由f′（x）=0，得k=$\frac{1-xlnx}{x}$，
令F（x）=$\frac{1-xlnx}{x}$，
∵0＜x≤1，∴F′（x）=-$\frac{x+1}{{x}^{2}}$＜0，
∴F（x）在区间（0，1]上递减，
当x→0时，F（x）→+∞，
故F（x）≥F（1）-1，
即k≥1，
故k的范围是[1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．