Question

1．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，曲线C₂的极坐标方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（1）将曲线C₁和C₂化为普通方程；
（2）设C₁和C₂的交点分别为A，B，求线段AB的中垂线的参数方程．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，利用cos²θ+sin²θ=1即可化为普通方程；曲线C₂的极坐标方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）$=$\sqrt{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐标方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．直线方程与椭圆方程联立化为：5x²-16x+12=0，利用x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=2-x₀，可得M坐标．由直线AB的斜率为1，可得线段AB的中垂线的斜率为-1，倾斜角为135°．即可得出参数方程．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，化为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
曲线C₂的极坐标方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展开为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）$=$\sqrt{2}$，可得直角坐标方程：x+y-2=0．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：5x²-16x+12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{16}{5}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{8}{5}$，y₀=2-x₀=$\frac{2}{5}$．
由直线AB的斜率为1，可得线段AB的中垂线的斜率为-1，倾斜角为135°．
可得线段AB的中垂线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{2}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．