Question

11．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且满足c=2$\sqrt{3}$，c cos B+（ b-2a ）cos C=0．
（1）求角 C 的大小；
（2）求△ABC 面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，整理求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用正弦定理表示出a，b，进而表示出三角形面积，求出面积最大值即可．

解答 解：（1）已知等式ccosB+（b-2a）cosC=0，
利用正弦定理化简得：sinCcosB+sinBcosC-2sinAcosC=0，
即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，
∴sin（B+C）=sinA=2sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
则C=$\frac{π}{3}$；
（2）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴a=4sinA，b=4sinB，
∵A+B=$\frac{2π}{3}$，即B=$\frac{2π}{3}$-A，
∴S^△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=4$\sqrt{3}$sinAsinB=4$\sqrt{3}$sinAsin（$\frac{2π}{3}$-A）=2$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
当2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$时，S_max=3$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．