Question

10．若（x+$\frac{1}{x}$+1）ⁿ的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0，π]和[0，$\frac{n}{4}$]内任取两个实数x，y，满足y＞sinx的概率为（　　）

• A． 1-$\frac{1}{π}$
• B． 1-$\frac{2}{π}$
• C． 1-$\frac{3}{π}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据几何概型的概率公式，求出对应事件对应的平面区域的面积，进行求解即可

解答 解：由题意知，令x=1，得到3ⁿ=81，解得 n=4，∴0≤x≤π，0≤y≤1．
作出对应的图象如图所示：
则此时对应的面积S=π×1=π，
满足y≥sinx的点构成区域的面积为：
S=${∫}_{0}^{π}$sinxdx=-cosx|${\;}_{0}^{π}$=-cosπ+cos0=2，
则满足y＞sinx的概率为$P=1-\frac{2}{π}$．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分以及线性规划的知识作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．