Question

19．过点（0，1）的直线l被圆（x-1）²+y²=4所截得的弦长最短时，直线l的方程为x-y+1=0．

Answer 1

分析 设A（0，1），求出圆心C的坐标为（1，2），从而得到AC的斜率．由圆的性质，得当直线被圆截得弦长最短时，直线与经过A点的直径垂直，由此算出直线的斜率，即可得到所求直线的方程．

解答 解：∵圆（x-1）²+y²=4的圆心为C（1，0），
∴设A（0，1），得AC的斜率k_AC=$\frac{0-1}{1-0}$=-1，
∵直线l经过点A（0，1），且l被圆（x-1）²+y²=4截得的弦长最短
∴直线l与经过点A（0，1）的直径垂直的直线
由此可得，直线l的斜率为k=-$\frac{1}{{k}_{AC}}$=1，
因此，直线l方程为y-1=x-0，即x-y+1=0
故答案为：x-y+1=0．

点评 本题考查直线的方程，着重考查了直线的基本量与方程、圆的方程和直线与圆的位置关系及两条直线垂直的充要条件等知识，属于基础题．