题目内容

某电视台举办有奖竞答活动，活动规则如下：①每人最多答4个小题；②答题过程中，若答对则继续答题，答错则停止答题；③答对每个小题可得10分，答错得0分．甲、乙两人参加了此次竞答活动，且相互之间没有影响．已知甲答对每个题的概率为 $数学公式$ ，乙答对每个题的概为 $数学公式$ ．
（I）设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙最后得分之和为20分的概率．

解：（I）X的可能取值为：0，10，20，30，40，
P（X=0）=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（X=10）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（X=20）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（X=30）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（X=40）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故X的分布列如下：

X	0	10	20	30	40
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

故所求的数学期望EX= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）设“甲、乙最后得分之和为20分”为事件A，“甲恰好得0分且乙恰好得20分”为事件B，
“甲恰好得10分且乙恰好得10分”为事件C，“甲恰好得20分且乙恰好得0分”为事件D，
则事件B、C、D互斥，且A=B+C+D，
又P（B）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（C）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（D）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故P（A）=P（B+C+D）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（I）X的可能取值为：0，10，20，30，40，分别求得各自对应的概率，可得分布列，进而可得的期望；（Ⅱ）设“甲、乙最后得分之和为20分”为事件A，“甲恰好得0分且乙恰好得20分”为事件B，“甲恰好得10分且乙恰好得10分”为事件C，“甲恰好得20分且乙恰好得0分”为事件D，可得事件B、C、D互斥，且A=B+C+D，分别求得概率，由概率的加法公式可得答案．
点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及互斥事件的应用，属中档题．