Question

设函数f(x)＝cln x＋x²＋bx(b，c∈R，c≠0)，且x＝1为f(x)的极值点．

(1)若x＝1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用c表示)；

(2)若f(x)＝0恰有两解，求实数c的取值范围．

Answer 1

解：f′(x)＝＋x＋b＝，又f′(1)＝0，

则b＋c＋1＝0，

所以f′(x)＝且c≠1，

(1)因为x＝1为f(x)的极大值点，所以c>1.

令f′(x)>0，得0<x<1或x>c；令f′(x)<0，得1<x<c.

所以f(x)的递增区间为(0,1)，(c，＋∞)；递减区间为(1，c)．

(2)①若c<0，则f(x)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增．

若f(x)＝0恰有两解，则f(1)<0，即＋b<0，所以－<c<0.

②若0<c<1，则f(x)_极大值＝f(c)＝cln c＋c²＋bc，f(x)_极小值＝f(1)＝＋b.因为b＝－1－c，

则f(x)_极大值＝cln c＋＋c(－1－c)＝cln c－c－<0，

f(x)_极小值＝－－c，从而f(x)＝0只有一解；

③若c>1，则f(x)_极大值＝－－c<0，

从而f(x)_极小值＝cln c＋＋c(－1－c)

＝cln c－c－<0，

则f(x)＝0只有一解．

综上，使f(x)＝0恰有两解的c的取值范围为－<c<0.