Question

椭圆C：长轴为8离心率
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆C：长轴为8，离心率，知，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）法一：设所求直线方程为y-1=k（x-2），代入椭圆方程并整理得：（4k²+1）x²-8（2k²-k）x+4（2k-1）²-16=0，设直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，由M为AB的中点，知，由此能求出直线方程．
法二：设直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（2，1）为AB的中点，所以x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，用点差法能求出直线方程．
法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），由于中点为M（2，1），则另一个交点为B（4-x，2-y），因为A、B两点在椭圆上，所以有，由此能求出直线方程．
解答：解：（1）∵椭圆C：长轴为8，离心率，
∴，
∴，b=，
∴椭圆C的标准方程为（6分）
（2）解法一：设所求直线方程为y-1=k（x-2），
代入椭圆方程并整理得：（4k²+1）x²-8（2k²-k）x+4（2k-1）²-16=0，
又设直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程的两个根，
于是，
又M为AB的中点，所以，
解得，（5分）
故所求直线方程为x+2y-4=0．（2分）
解法二：设直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
M（2，1）为AB的中点，
所以x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
又A、B两点在椭圆上，
则，，
两式相减得，
所以，
即，（5分）
故所求直线方程为x+2y-4=0．（2分）
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），
由于中点为M（2，1），
则另一个交点为B（4-x，2-y），
因为A、B两点在椭圆上，
所以有，
两式相减得x+2y-4=0，
由于过A、B的直线只有一条，（5分）
故所求直线方程为x+2y-4=0．（2分）
点评：本题考查椭圆标准方程和直线方程的求法，考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．