Question

9．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-1，x＜1\\-\frac{1}{2}，x=1\\ 1+{log_{\frac{1}{2}}}x，x＞1\end{array}\right.$，g（x）=f（x）-k，k为常数，给出下列四种说法：
①f（x）的值域是（-∞，1]；
 ②当$k=-\frac{1}{2}$时，g（x）的所有零点之和等于$2\sqrt{2}$；
③当k≤-1时，g（x）有且仅有一个零点；  
④f（x+1）是偶函数．
其中正确的是（　　）

• A． ①③
• B． ①④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 ①根据分段函数的表达式分别求出对应的取值范围进行判断，
②由g（x）=0转化为f（x）=k，解方程即可．
③利用图象进行判断，
④根据函数奇偶性的对称性结合图象进行判断．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：
①当x＜1时，f（x）=2^x-1∈（-1，1），
当x＞1时，f（x）=1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x＜1，
综上f（x）＜1，
即f（x）的值域是（-∞，1）；故①错误，
 ②由g（x）=f（x）-k=0得f（x）=k，
当$k=-\frac{1}{2}$时，若x＜1，由f（x）=2^x-1=-$\frac{1}{2}$，得2^x=$\frac{1}{2}$，即x=-1
当x=1时，f（1）=-$\frac{1}{2}$，
当x＞1时，由f（x）=1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x=-$\frac{1}{2}$，得log${\;}_{\frac{1}{2}}$x=-$\frac{3}{2}$，即x=$（\frac{1}{2}）^{-\frac{3}{2}}$=${2}^{\frac{3}{2}}=\sqrt{{2}^{3}}$=$2\sqrt{2}$
则g（x）的所有零点之和等于-1+1+$2\sqrt{2}$=$2\sqrt{2}$，故②正确；
③由g（x）=f（x）-k=0得f（x）=k，
由图象知当k≤-1时，g（x）有且仅有一个零点，故③正确；  
④若f（x+1）是偶函数则函数f（x+1）关于x=0对称，向右平移1个单位得到f（x），则f（x）关于x=1对称，
当x＜1时，f（x）=2^x-1∈（-1，1），当x＞1时，f（x）=1+log${\;}_{\frac{1}{2}}$x＜1，显然关于x=1不对称，故f（x+1）不是偶函数，故④错误，
故正确的是②③，
故选：C

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及分段函数的应用，考查学生分析问题，解决问题的能力，注意使用数形结合以及分类讨论的思想．