Question

16．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$λ\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CP}$=1，则实数λ的值为-$\frac{1}{4}$或1．

Answer 1

分析 【方法一】根据题意，利用平面向量的线性运算，把$\overrightarrow{BP}$、$\overrightarrow{CP}$用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$与λ表示出来，再求$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CP}$即可．
【方法二】建立平面直角坐标系解答更好做些．

解答 解：【方法一】△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$λ\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$）-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+（λ-1）$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CP}$=λ$\overrightarrow{AC}$•[$\overrightarrow{AB}$+（λ-1）$\overrightarrow{AC}$]
=λ$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+λ（λ-1）${\overrightarrow{AC}}^{2}$
=λ×2×1×cos60°+λ（λ-1）×2²=1，
整理得4λ²-3λ-1=0，
解得λ=-$\frac{1}{4}$或λ=1，
∴实数λ的值为-$\frac{1}{4}$或1．
【方法二】建立平面直角坐标系如图所示
A（0，0），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（2，0），
设P（x，y）$\overrightarrow{AP}$=（x，y），$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{AC}$=（2，0），$\overrightarrow{BP}$=（x-$\frac{1}{2}$，y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
$\overrightarrow{CP}$=（x-2，y），
∴（x，y）=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+λ（2，0）=（$\frac{1}{2}$+2λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴x=$\frac{1}{2}$+2λ①，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$②；
又（x-$\frac{1}{2}$）（x-2）+y（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=1③；
由①②③解得λ=-$\frac{1}{4}$或λ=1．
故答案为：-$\frac{1}{4}$或1．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算与线性表示的应用问题，也考查了运算推理能力，是基础题．