Question

设f（x）=lg（x+

x2+1

）+sinx，当0≤θ≤

π

2

时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，1）
• B、（-∞，0）
• C、（-∞，

  1

  2

  ）
• D、（0，1）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式恒成立进行转化，即可得到结论．

解答：解：∵f（x）=lg（x+

x2+1

）+sinx，
∴f（-x）=lg（-x+

x2+1

）-sinx═lg（

1

x+ x2+1

）-sinx=-（lg（x+

x2+1

）+sinx）=-f（x），
即f（x）是奇函数，且为增函数，
则不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，等价为f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1）恒成立，
即f（msinθ）＞f（m-1）
即msinθ＞m-1
即m＜

1

1-sinθ

在0≤θ≤

π

2

时恒成立
∵0≤θ≤

π

2

时，1-sinθ的最大值为1，故

1

1-sinθ

的最小值为1
故m＜1
即实数m的取值范围是（-∞，1），
故选：A

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与函数的单调性及恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度为中档．