Question

10．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当x∈[-2，0]时，f（x）=${（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^x}$-1，若在区间（-2，6）内，函数y=f（x）-log_a（x+2）（a＞1）恰有1个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，4]
• B． （1，2）∪（4，+∞）
• C． （4，+∞）
• D． （1，4）

Answer 1

分析 根据f（2+x）=f（2-x）得出x=2是f（x）的对称轴，再根据函数y=f（x）是偶函数得出f（x）的周期为4，结合x∈[-2，0]时f（x）的解析式得出区间（-2，6）内函数y=f（x）的图象，由函数恰有1个零点，得出函数y=f（x）和y=log_a（x+2）在x∈[-2，6]内的图象有唯一交点，由此求出a的取值范围．

解答 解：∵f（2+x）=f（2-x），
∴x=2是f（x）的对称轴，
又函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，
∴x=0是函数f（x）的对称轴，
∴函数y=f（x）的周期为4；
又当x∈[-2，0]时，f（x）=${（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{x}$-1，
∴0≤f（x）≤1；

又在区间（-2，6）内，函数y=f（x）-log_a（x+2）（a＞1）恰有1个零点，
作出函数y=f（x）和y=log_a（x+2）在x∈[-2，6]内的图象，如图所示；
由log_a（2+2）=1，解得a=4，
故实数a的取值范围是1＜a＜4．
故选：D．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了函数零点和数形结合的应用问题，是综合性题目．