Question

15．已知点A（0，2）为圆C：x²+y²-2ax-2ay=0（a＞0）外一点，圆C上存在点P使得∠CAP=45°，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． $[\sqrt{3}-1，1）$
• C． $（0，\sqrt{3}-1]$
• D． $[-\sqrt{3}-1，\sqrt{3}-1]$

Answer 1

分析 化标准方程易得圆的圆心为M（a，a），半径r=$\sqrt{2}$|a|，由题意可得1≥$\frac{PC}{AC}$≥sin∠CAP，由距离公式可得a的不等式，解不等式可得．

解答 解：化圆的方程为标准方程可得（x-a）²+（y-a）²=2a²，
∴圆的圆心为C（a，a），半径r=$\sqrt{2}$|a|，
∴AC=$\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}$，PC=$\sqrt{2}$|a|，
∵AC和PC长度固定，
∴当P为切点时，∠CAP最大，
∵圆C上存在点P使得∠CAP=45°，
∴若最大角度大于45°，则圆C上存在点P使得∠CAP=45°，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}|a|}{\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}}$≥sin∠CAP=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理可得a²+2a-2≥0，解得a≥$\sqrt{3}-1$或a≤-$\sqrt{3}-1$，
又$\frac{PC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}|a|}{\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}}$≤1，解得a≤1，
又点 A（0，2）为圆C：x²+y²-2ax-2ay=0外一点，
∴0²+2²-4a＞0，解得a＜1
∵a＞0，∴综上可得$\sqrt{3}$-1≤a＜1．
故选B．

点评 本题考查圆的一般式方程和圆的性质，涉及距离公式的应用，属中档题．