Question

设椭圆的左、右焦点分别、，点是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，的周长为16．

（I）求椭圆的方程；

（2）求过点且斜率为的直线被椭圆所截的线段的中点坐标．

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）利用椭圆的标准方程及其参数a、b、c的关系即可得出；

（2）把直线与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系就线段的中点坐标公式即可得出．

试题解析：（1）设椭圆的半焦距为，则由题设得， 3分

解得，所以， 5分

故所求的方程为. 6分

（2）过点且斜率为的直线方程为， 8分

将之代入的方程，得，即. 10分

设直线与椭圆有两个交点，

因为，所以线段中点的横坐标为，

纵坐标为 . 11分

故所求线段的中点坐标为. 12分.

考点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.椭圆的标准方程．