Question

已知直线x=0和x=

π

2

是函数f（x）=sin（ωx+φ）-

3

cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）图象的两条相邻的对称轴，则（　　）

• A、f（x）的最小正周期为π，且在（0，

  π

  2

  ）上为单调递增函数
• B、f（x）的最小正周期为π，且在（0，

  π

  2

  ）上为单调递减函数
• C、φ=

  π

  6

  ，在f（x）在（0，

  π

  2

  ）上为单调递减函数
• D、φ=

  π

  6

  ，在f（x）在（0，

  π

  2

  ）上为单调递增函数

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由对称性易得函数的周期，由对称性可得φ值，再由单调性可得．

解答： 解：化简可得f（x）=sin（ωx+φ）-

3

cos（ωx+φ）
=2sin（ωx+φ-

π

3

），
∵直线x=0和x=

π

2

是函数f（x）图象的两条相邻的对称轴，
∴T=

2π

ω

=2（

π

2

-0）=π，解得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ-

π

3

），
由对称性可知f（0）=±2，即φ-

π

3

=kπ+

π

2

，
解得φ=kπ+

5π

6

，由|φ|＜

π

2

可知当k=-1时，φ=-

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

-

π

3

）=2sin（2x-

π

2

）=-2cos2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π可得kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈Z
当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为（0，

π

2

）
故选：A

点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的单调性和对称性，属基础题．