题目内容
平面内有点A，B，C，D，满足A，B∈l，C∉l，且|
|≤|
|，
=sin2γ
+cos2γ
（γ∈R）．若有等式关系：①
•
=2016
2；②
+
-
=2015恒成立，则：
（Ⅰ）△ABC的形状是 ；
（Ⅱ）tan∠ADC= ．
| CA |
| CB |
| CD |
| CA |
| CB |
| CD |
| AB |
| AB |
| 1 |
| tan∠CDB |
| 1 |
| tan∠B |
| 1 |
| tan∠A |
（Ⅰ）△ABC的形状是
（Ⅱ）tan∠ADC=
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（I）由
=sin2γ
+cos2γ
（γ∈R），sin2γ+cos2γ=1．可得A，D，B三点共线，如图所示，且点D在线段AB上．作CE⊥AB，垂足为E点．
•
=2016
2，可得-|
||
|cos∠CDB=2016|
|2，|
|=2016|
|，不妨取|
|=1．则|
|=2016．由|
|≤|
|，可得点E一定在BA的延长线上．即可得出△ABC的形状．
（II）取点D与点A重合时，|
|=2016，tan∠CDB=-tan∠CAE=-
=-
=-tan∠A，tan∠B=
=
，利用
+
-
=2015恒成立，可得CE=
．即可得出tan∠ADC．
| CD |
| CA |
| CB |
| CD |
| AB |
| AB |
| CD |
| AB |
| AB |
| DE |
| AB |
| AB |
| DE |
| CA |
| CB |
（II）取点D与点A重合时，|
| AE |
| CE |
| EA |
| CE |
| 2016 |
| CE |
| EB |
| CE |
| 2017 |
| 1 |
| tan∠CDB |
| 1 |
| tan∠B |
| 1 |
| tan∠A |
| 2017 |
| 2015 |
解答：
解：（I）∵
=sin2γ
+cos2γ
（γ∈R），sin2γ+cos2γ=1．
∴A，D，B三点共线，如图所示，且点D在线段AB上．作CE⊥AB，垂足为E点．
•
=2016
2，可得-|
||
|cos∠CDB=2016|
|2，
∴|
|=2016|
|，不妨取|
|=1．
则|
|=2016．
∵|
|≤|
|，
∴|
|＜|
|．
点E一定在BA的延长线上．
可知：△ABC是钝角三角形．
（II）取点D与点A重合时，|
|=2016，
tan∠CDB=-tan∠CAE=-
=-
=-tan∠A，tan∠B=
=
，
∵
+
-
=2015恒成立，
∴2015=
=
，∴CE=
．
∴tan∠ADC=tan∠EAC=
=
．
故答案分别为：钝角三角形；
．
| CD |
| CA |
| CB |
∴A，D，B三点共线，如图所示，且点D在线段AB上．作CE⊥AB，垂足为E点．
| CD |
| AB |
| AB |
| CD |
| AB |
| AB |
∴|
| DE |
| AB |
| AB |
则|
| DE |
∵|
| CA |
| CB |
∴|
| CA |
| CB |
点E一定在BA的延长线上．
可知：△ABC是钝角三角形．
（II）取点D与点A重合时，|
| AE |
tan∠CDB=-tan∠CAE=-
| CE |
| EA |
| CE |
| 2016 |
| CE |
| EB |
| CE |
| 2017 |
∵
| 1 |
| tan∠CDB |
| 1 |
| tan∠B |
| 1 |
| tan∠A |
∴2015=
| 1 |
| tan∠B |
| 2017 |
| CE |
| 2017 |
| 2015 |
∴tan∠ADC=tan∠EAC=
| CE |
| EA |
| 2017 |
| 2015×2016 |
故答案分别为：钝角三角形；
| 2017 |
| 2015×2016 |
点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算、直角三角形的边角关系、正切函数，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
已知
，
是两个不共线的向量，向量
=
+sina•
（-
＜a＜
），
=2
-
，
=3
-
，若A，B，C三点共线，且函数f（x-a）=4cos（x-a）cos（x-2a），则f（x）在[-
，
]上的值域为（ ）
| e1 |
| e2 |
| PA |
| e1 |
| e2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| PB |
| e1 |
| e2 |
| PC |
| e1 |
| 5 |
| 2 |
| e2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 6 |
A、[-2，
| ||||
B、[1-
| ||||
C、[-2
| ||||
D、[
|
四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，E、F分别是AB、PB的中点．（1）求证：PA⊥CD；
（2）求三棱锥B-DEF的体积；
（3）二面角E-DF-B的余弦值．
如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，
如图，在棱长均相等的四面体O-ABCD中，D为AB的中点，E为CD的中点，设| OA |
| a |
| OB |
| b |
| OC |
| c |
| OE |
| a |
| b |
| c |
A、
| ||||||||||||||
B、
| ||||||||||||||
C、
| ||||||||||||||
D、
|