Question

9．已知直线y=2x-1与抛物线C：x²=2py（p＞0）相切
（1）求抛物线C的方程
（2）过抛物线C的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若弦AB的中点的纵坐标为$\frac{11}{4}$，求弦AB的长度．

Answer 1

分析 （1）联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由直线与抛物线相切得△=0，解出即可．
（2）由抛物线的定义可得AB=AA′+BB′，再由线段AB的中点M的纵坐标为$\frac{11}{4}$可得 2MM′=AA′+BB′，即 2（$\frac{11}{4}$+$\frac{1}{4}$）=AA′+BB′=AB，由此求得线段AB的长．

解答 解：（1）由直线y=2x-1与抛物线C：x²=2py（p＞0），联立得x²-4px+2p=0，
因为直线与抛物线相切，
所以△=16p²-8p=0，解得p=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线C的方程是x²=y；
（2）设A、B、M在准线y=-$\frac{1}{4}$上的射影分别为A′、B′、M′，则由抛物线的定义可得AB=AA′+BB′．
再由线段AB的中点M的纵坐标为$\frac{11}{4}$可得 2MM′=AA′+BB′，即 2（$\frac{11}{4}$+$\frac{1}{4}$）=AA′+BB′=AB，
∴AB=6．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线的位置关系，属中档题．