Question

6．如图，在长方体OADB-CA₁D₁B₁中，OA=3，OB=4，OC=2，OI=OJ=OK=1，点E，F分别是DB，D₁B₁的中点．设$\overrightarrow{OI}$=$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{OJ}$=$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{OK}$=$\overrightarrow{k}$，试用向量$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{k}$表示$\overrightarrow{O{D}_{1}}$、$\overrightarrow{O{A}_{1}}$、$\overrightarrow{OE}$、$\overrightarrow{OF}$．

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{k}$，根据向量加法的三角形法则，结合空间向量的基本定义及其意义，可得答案．

解答 解：∵OA=3，OB=4，OC=2，OI=OJ=OK=1，$\overrightarrow{OI}$=$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{OJ}$=$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{OK}$=$\overrightarrow{k}$，
∴$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{k}$，
∴$\overrightarrow{O{D}_{1}}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{{DD}_{1}}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=3$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{j}$+2$\overrightarrow{k}$，
$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{{AA}_{1}}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=3$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{k}$，
$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{j}$，
$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{j}$+2$\overrightarrow{k}$．

点评 本题考查的知识点是空间向量加法的三角形法则，空间向量的基本定理，难度不大，属于基础题．