Question

20．已知抛物线y=x²在点A（1，1）处的切线为l．
（1）求切线l的方程；
（2）若切线l经过椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个焦点和顶点，求该椭圆的方程．

Answer 1

分析 （1）求导，由抛物线在点A（1，1）处的切线为l的斜率k=k_切=y'|_x=1=2，由点斜式方程即可求得切线l的方程；
（2）由题意可知求得切线与x和y的轴的焦点，求得c和b的值，由椭圆的性质可知a²=b²+c²，即可求得该椭圆的方程．

解答 解：（1）k_切=y'|_x=1=2x|_x=1=2，…（2分）
切点A（1，1），所以切线l的方程为y-1=2（x-1）
即y=2x-1…（4分）
（2）令y=0，则x=$\frac{1}{2}$，所以切线与x轴的交点为$B（\frac{1}{2}，0）$…（5分）
令x=0，则y=-1，所以切线与y轴的交点为C（0，-1）
所以$c=\frac{1}{2}，b=1$，
$a=\sqrt{{b^2}+{c^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
所求椭圆方程为$\frac{{4{x^2}}}{5}+{y^2}=1$．

点评 本题考查利用导数求曲线的切线方程及椭圆的简单性质，考查导数的运算，考查计算能力，属于中档题．