Question

15．曲线C是平面内到直线l₁：x=-1和直线l₂：y=1的距离之积等于常数k²（k＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：
①曲线C过点（-1，1）；
②曲线C关于点（-1，1）对称；
③若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l₁，l₂上，则|PA|+|PB|不小于2k；
④设P₀为曲线C上任意一点，则点P₀关于直线x=-1，点（-1，1）及直线y=1对称的点分别为P₁、P₂、P₃，则四边形P₀P₁P₂P₃的面积为定值2k²．
其中，所有正确结论的序号是②③．

Answer 1

分析 由题意曲线C是平面内到直线l₁：x=-1和直线l₂：y=1的距离之积等于常数k²（k＞0）的点的轨迹．利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．

解答 解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y-1|=k²，
对于①，将（-1，1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；
对于②，把方程中的x被-2-x代换，y被2-y 代换，方程不变，故此曲线关于（-1，1）对称．所以②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l₁，l₂上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y-1|
∴|PA|+|PB|≥2$\sqrt{|PA||PB|}$=2k，所以③正确；
对于④，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，
则四边形P₀P₁P₂P₃的面积=2|x+1|×2|y-1|=4|x+1||y-1|=4k²．所以④正确．
故答案为：②③④．

点评 此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，属于基础题．