Question

已知复数z₁=i(1-i)³,(1)求|z₁|;(2)若|z|=1,求|z-z₁|的最大值.

Answer 1

思路分析:(1)求模应先求出复数的实部与虚部,再利用|a+bi|=得出;(2)是考查复数几何意义的应用.

解:(1)z₁=i(1-i)³=i(-2i)(1-i)=2(1-i),

∴|z₁|=.

图3-1-3

(2)|z|=1可看成半径为1,圆心为(0,0)的圆,而z₁可看成在坐标系中的点(2,-2),

∴|z-z₁|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上点的距离的最大值,由图3-1-3可知,|z-z₁|_max=+1.

    方法归纳 运用复数的几何意义,采取数形结合的方法解题,可简化解题步骤,事半功倍.

变式方法:∵|z|=1,

∴设z=cosθ+isinθ,

|z-z₁|=|cosθ+isinθ-2+2i|=

当sin(θ-)=-1时,|z-z₁|²取得最大值9+.

从而得到|z-z₁|的最大值为+1.

    方法归纳 在设复数的过程中常设为z=a+bi(a,b∈R);在有关的解决轨迹的问题中常设z=x+yi,从而与解析几何联系起来;当复数的模为1时也可以设为z=cosθ+isinθ,用三角函数解决相关最值等.