Question

13．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建立一个内接矩形花园（阴影部分），则其边长为x（单位：m），设花园面积为S，
（Ⅰ）将S表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
（Ⅱ）欲建一个面积最大的内接矩形花园，求其边长x的值；
（Ⅲ）欲建一个面积不小于300m²的内接矩形花园，求其边长x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据△ADE∽△ABC可得y与x的关系，然后将y用x表示，根据矩形的面积公式可得函数s（x） 的解析式；
（Ⅱ）先对二次函数进行配方，然后根据二次函数的性质可知开口向下的二次函数在对称轴处取最大值，从而求出所求；
（Ⅲ）欲建一个面积不小于300m²的内接矩形花园，可得不等式，即可求其边长x的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）如图∵△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AB-BD}{AB}$，
设矩形的另一边长为y，
∴$\frac{x}{40}=\frac{40-y}{40}$，
∴y=40-x（0＜x＜40），
∴S（x）=x（40-x）=40x-x²，定义域为：（0，40）；
（Ⅱ）S（x）=40x-x²=-（x-20）²+400，0＜x＜40，
∴x=20时，函数S（x）最大值400m²．
（Ⅲ）欲建一个面积不小于300m²的内接矩形花园，则40x-x²≥300，
∴（x-10）（x-30）≤0，∴10≤x≤30．

点评 本题主要考查了三角形相似的应用，以及二次函数求最值，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．