Question

11．立方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为3，P为BB₁的中点，则四棱锥P-AA₁C₁C的体积为27．

Answer 1

分析 连结AC、BD，交于点O，求出${S}_{矩形AC{C}_{1}{A}_{1}}$=9$\sqrt{2}$，点P到平面ACC₁A₁的距离BO=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，由此能求出四棱锥P-AA₁C₁C的体积．

解答 解：连结AC、BD，交于点O，
∵立方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为3，P为BB₁的中点，
∴${S}_{矩形AC{C}_{1}{A}_{1}}$=AC×AA₁=$\sqrt{9+9}×3$=9$\sqrt{2}$，
AC⊥BO，AA₁⊥BO，
∵AC∩AA₁=A，∴BO⊥平面ACC₁A₁，
∴点P到平面ACC₁A₁的距离为：
BO=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{9+9}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴四棱锥P-AA₁C₁C的体积：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{矩形AC{C}_{1}{A}_{1}}×BO$=$\frac{1}{3}×9\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=27．
故答案为：27．

点评 本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．