Question

17．已知函数f（x）=4x³+ax²+bx+5．
（Ⅰ）若函数f（x）不存在极值点，求a，b的关系式；
（Ⅱ）已知函数f（x）在$x=\frac{3}{2}$与x=-1时有极值．
（1）若函数f（x）在（0，m）上不是单调函数，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-2，2]时，求函数f（x）的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a，b的不等式，解出即可；
（Ⅱ）（1）求出函数 到底是，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，从而求出函数的单调区间，确定m的范围即可；
（2）根据函数的单调性求出函数的极值以及端点值，求出函数的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知f'（x）=12x²+2ax+b…（2分）
因为函数f（x）不存在极值点，
所以f'（x）=12x²+2ax+b=0无解，
则△=4a²-48b＜0，所以a²＜12b…（4分）
（Ⅱ）（1）f'（x）=12x²+2ax+b，所以$f'（\frac{3}{2}）=12×\frac{9}{4}+3a+b=0$，
且f'（-1）=12-2a+b=0，解得a=-3，b=-18…（6分）
所以f'（x）=12x²-6x-18=6（2x-3）（x+1）

	（-∞，-1）	$（-1，\frac{3}{2}）$	$（\frac{3}{2}，+∞）$
f'（x）	+	-	+
f（x）	增	减	增

所以f（x）在（-∞，-1）和$（\frac{3}{2}，+∞）$上增，在$（-1，\frac{3}{2}）$上减…（8分）
若函数f（x）在（0，m）上不是单调函数，则$m＞\frac{3}{2}$…（9分）
（2）由（1）知，则当$x=-1，\frac{3}{2}$时取极大、极小值
因为f（x）=4x³-3x²-18x+5，所以$f（-1）=16，f（\frac{3}{2}）=-\frac{61}{4}，f（-2）=-3，f（2）=11$
所以函数f（x）的最大、最小值分别为$16，-\frac{61}{4}$…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．