Question

19．求双曲线9x²-16y²=144被点P（8，3）平分的弦AB所在的直线方程．

Answer 1

分析 检验直线方程为x=8，是否符合题意，然后设直线与双曲线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法求出直线方程后，代入检验所求直线与已知曲线是否相交．

解答 解：当直线的斜率k不存在时，直线方程为x=8，
直线被双曲线所截线段的中点为（8，0），不符合题意；
设直线与双曲线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把A，B代入到曲线方程可得9x₁²-16y₁²=144，9x₂²-16y₂²=144，
相减可得，9（x₁-x₂）（x₁+x₂）-16（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由中点坐标公式可得，x₁+x₂=16，y₁+y₂=6，
∴kAB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{9×16}{16×6}$=$\frac{3}{2}$，
直线的方程为y-3=$\frac{3}{2}$（x-8），即为y=$\frac{3}{2}$x-9，
代入双曲线9x²-16y²=144，
可得3x²-48x+160=0，此时△=384＞0，满足题意．
故所求直线的方程为3x-2y-18=0．

点评 本题主要考查了点差法在求解直线与曲线相交关系中的应用，学生用“点差法”求出直线方程漏掉检验用“△”验证直线的存在性是导致本题出现错误的最直接的原因．