Question

20．已知函数f（x）=x|x-4|．
（1）画出f（x）的图象，并写出f（x）的单调区间；
（2）解不等式f（x）＜5；
（3）若函数g（x）=f（x）-a恰有三个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用零点分段法，得到函数的分段函数解析式，结合二次函数的图象和性质，画出函数图象，数形结合可得f（x）的单调区间；
（2）分类讨论满足f（x）＜5的x范围，综合讨论结果可得不等式f（x）＜5的解集；
（3）若函数g（x）=f（x）-a恰有三个零点，则函数f（x）的图象与直线y=a有三个交点，由（1）中图象可得a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，x＜4}^{\;}\\{x}^{2}-4x，x≥4\end{array}\right.$
∴f（x）的图象如下图所示：

由图可得：f（x）的单调递增区间为：（-∞，2]，[4，+∞），单调递减区间为[2，4]，
（2）当x＜4时，f（x）=-x²+4x≤4恒成立，
当x＞4时，解f（x）=x²-4x＜5得：-1＜x＜5，故4＜x＜5，
综上所述不等式f（x）＜5的解集为：（-∞，5）；
（3）若函数g（x）=f（x）-a恰有三个零点，
则函数f（x）的图象与直线y=a有三个交点，
由（1）中图象可得：a∈（0，4）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，数形结合思想，分类讨论思想，二次函数的图象和性质，难度中档．