Question

20．如图1，在直角梯形EFBC中，FB∥EC，BF⊥EF，且EF=$\frac{1}{2}$FB=$\frac{1}{3}$EC=1，A为线段FB的中点，AD⊥EC于D，沿边AD将四边形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．
（I）求证：BC⊥平面EDB；
（Ⅱ）求点M到平面BEF的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出ED⊥平面ABCD，BC⊥ED，BC⊥BD，由此能证明BC⊥平面EDB．
（Ⅱ）设点M到平面BEF的距离为h，由V_M-BEF=V_B-EFM，能求出点M到平面BEF的距离．

解答 证明：（Ⅰ）∵在直角梯形EFBC中，FB∥EC，BF⊥EF，
且EF=$\frac{1}{2}$FB=$\frac{1}{3}$EC=1，A为线段FB的中点，AD⊥EC于D，
沿边AD将四边形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED?平面ADEF，DE⊥AD，
∴ED⊥平面ABCD，
又BC?平面ABCD，∴BC⊥ED，
∵AB=AD=1，在Rt△BAD中，BD=$\sqrt{2}$，
在直角梯形ABCD中，∵AB=AD=1，CD=2，∴BC=$\sqrt{2}$，
∴BD²+BC²=DC²，∴BC⊥BD，
又BD∩ED=D，∴BC⊥平面EDB．
（Ⅱ）在Rt△FAB中，Rt△EDB中，BF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
又EF=1，∴S_△BEF=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，S_△EFM=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{4}$，
设点M到平面BEF的距离为h，
由V_M-BEF=V_B-EFM，得$\frac{1}{3}{S}_{△BEF}•h$=$\frac{1}{3}{S}_{△EFM}•AB$，
∴点M到平面BEF的距离h=$\frac{{S}_{△EFM}•AB}{{S}_{△BEF}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．