Question

15．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切．
（1）求圆的方程；
（2）设直线kx-y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数k，使得过点P（2，-4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出圆心坐标，利用圆与直线4x+3y-29=0相切，圆心的横坐标是整数，即可求得圆C的方程；
（2）利用圆心到直线的距离小于半径，可求实数k的取值范围；
（3）假设存在，则PC⊥AB，由此可得结论．

解答 解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，
所以，$\frac{{|{4m-29}|}}{5}=5$，即|4m-29|=25．…（2分）
因为m为整数，故m=1．
故所求的圆的方程是（x-1）²+y²=25．…（4分）
（2）直线kx-y+5=0即y=kx+5．代入圆的方程，消去y整理，得：（k²+1）x²+2（5k-1）x+1=0．…（6分）
由于直线kx-y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5k-1）²-4（k²+1）＞0，…（7分）
即12k²-5k＞0，解得 k＜0，或$k＞\frac{5}{12}$．
所以实数k的取值范围是$（-∞，0）∪（\frac{5}{12}，+∞）$．…（8分）
（3）设符合条件的实数k存在，由（2）得k≠0，则直线l的斜率为$-\frac{1}{k}$，
l的方程为$y=-\frac{1}{k}（x-2）-4$，即x+ky-2+4k=0．…（9分）
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．
所以1+0-2+4k=0，解得$k=\frac{1}{4}$．…（11分）
由于$\frac{1}{4}∉（-∞，0）∪（\frac{5}{12}，+∞）$，
故不存在实数k，使得过点P（2，-4）的直线l垂直平分弦AB．…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．