Question

15．若sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，sinβ=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，其α，β为锐角，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，cosβ的值，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值．

解答 （本题满分6分）
解：∵sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，sinβ=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴cos$α=\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos$β=\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$-$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$×$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故cos（α+β）的值为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．