Question

16．已知点A，B分别是椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}$=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP距离等于|MB|，椭圆上的点到点M的距离d的最小值（　　）

• A． $\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$
• B． $\sqrt{15}$
• C． -1
• D． 1

Answer 1

分析 先求出A、F的坐标，设出P的坐标，求出$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{FP}$的坐标，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1}\\{（x+6）（x-4）+{y}^{2}=0}\end{array}\right.$，且y＞0，解方程组求得点P的坐标．求出直线AP的方程，设点M的坐标，由M到直线AP的距离等于|MB|，求出点M的坐标，再求出椭圆上的点到点M的距离d的平方得解析式，配方求得最小值．

解答 解：由已知可得点A（-6，0），F（4，0），设点P（x，y），
则$\overrightarrow{AP}$=（x+6，y），$\overrightarrow{FP}$=（x-4，y）．
由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1}\\{（x+6）（x-4）+{y}^{2}=0}\end{array}\right.$，2x²+9x-18=0，解得x=$\frac{3}{2}$，或x=-6．
由于y＞0，只能x=$\frac{3}{2}$，于是y=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
∴点P的坐标是（$\frac{3}{2}，\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．
直线AP的方程是$\frac{y-0}{\frac{5\sqrt{3}}{2}-0}=\frac{x+6}{\frac{3}{2}+6}$，即 x-$\sqrt{3}$y+6=0．  
设点M（m，0），则M到直线AP的距离是$\frac{|m+6|}{2}$．
于是$\frac{|m+6|}{2}=|6-m|$，又-6≤m≤6，解得m=2，故点M（2，0）．
设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有 d²=（x-2）²+y² =x²-4x+4+20-$\frac{5}{9}$x² =$\frac{4}{9}$（x-$\frac{9}{2}$）²+15，
∴当x=$\frac{9}{2}$时，d取得最小值$\sqrt{15}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点M的坐标是解题的关键，是中档题．