Question

19．设ω∈N^*且ω≤15，则使函数y=sinωx在区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不单调的ω的个数是8．

Answer 1

分析 使函数y=sinωx在区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不单调，只需对称轴在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]即可．

解答 解：根据正弦函数图象及性质：
对称轴方程为ωx=$\frac{π}{2}+kπ$，（k∈Z）．
解得：x=$\frac{π}{2ω}+\frac{kπ}{ω}$，（k∈Z）．
∵函数y=sinωx在区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不单调，
∴$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2ω}+\frac{kπ}{ω}$＜$\frac{π}{3}$，（k∈Z），
解得：1.5+3k＜ω＜2+4k，（k∈Z）．
由题意：ω∈N^*且ω≤15
当k=0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；
当k=1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取：5；
当k=2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取：8，9；
当k=3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取：11，12，13；
当k=4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取：14，15；
∴ω∈N^*且ω≤15，y=sinωx在区间[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不单调时，ω可以4个数，即，5，8，9，11，12，13；14，15．
故答案为：8．

点评 本题考查了正弦函数图象及性质的灵活运用．属于基础题．