Question

8．已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB=2，DC=3，E为AB的中点，过E作EF∥AD，将四边形AEFD沿EF折起使面AEFD⊥面EBCF．
（1）若G为DF的中点，求证：EG∥面BCD；
（2）若AD=2，试求多面体AD-BCFE体积．

Answer 1

分析 （1）取DC的中点H，连接GH，BH，可得GH∥FC，GH=$\frac{1}{2}FC$，且FC=2，进一步得到四边形EGHB为平行四边形，则EG∥BH，由线面平行的判定得EG∥面BCD；
（2）由面ADEF⊥面BEFC，可得BE，EF，DF两两垂直，连接BF，所求的几何体分为两部分转化为四棱锥B-EFDA与三棱锥B-DFC的体积和，由此求得答案．

解答 证明：（1）取DC的中点H，连接GH，BH，
∵GH∥FC，GH=$\frac{1}{2}FC$，且FC=2，
∴GH=EB，且GH∥EB，
∴四边形EGHB为平行四边形，EG∥BH，BH?面BDC，故EG∥面BCD；
解：（2）∵面ADEF⊥面BEFC，
∴BE，EF，DF两两垂直，连接BF，所求的几何体分为两部分，四棱锥B-EFDA与三棱锥B-DFC，
${V}_{B-EFDA}=\frac{1}{3}BE•{S}_{EFDA}=\frac{1}{3}×1×2×1=\frac{2}{3}$，
${V}_{B-DFC}=\frac{1}{3}AD•{S}_{△DFC}=\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×1×2=\frac{2}{3}$，
∴多面体AD-BCFE体积为2×$\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．