Question

已知O为坐标原点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆

x2

m

+

y2

4

=1（m＞4）上任意两点，已知向量

p

=（

x1

m

，

y1

2

），

q

=（

x2

m

，

y2

2

），若

p

•

q

的夹角为

π

2

且椭圆的离心率e=

3

2

．
（1）若直线AB过椭圆的焦点F（c，0）（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（2）△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由已知条件推导出b=2，结合e=

3

2

和隐含条件即可求出椭圆C的标准方程；
（2）由已知条件推导出x₁x₂+4y₁y₂=0，当直线斜率存在时，设直线AB方程为：y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出三角形AOB的面积为定值4．
当直线斜率不存在时设直线AB方程为：x=t，（-4＜t＜4），结合椭圆方程求出t的值，求得三角形AOB的面积为定值4．

解答： 解：（1）由椭圆

x2

m

+

y2

4

=1（m＞4），得b=2，
∵e=

c

a

=

3

2

，
∴

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

3

4

，则a²=16，即m=16．
∴椭圆的方程为

x2

16

+

y2

4

=1．
则

p

=（

x1

m

，

y1

2

）=(

x1

4

，

y1

2

)，

q

=（

x2

m

，

y2

2

）=(

x2

4

，

y2

2

)，
由

p

•

q

的夹角为

π

2

，得

p

•

q

=0，即

x1x2

16

+

y1y2

4

=0，
又椭圆的焦点F（2

3

，0），
设直线AB方程为y=k（x-2

3

），
联立

x2 16 + y2 4 =1 y=k(x-2 3 )

，得(1+4k2)x2-16

3

k2x+48k2-16=0．
则x1+x2=

16 3 k2

1+4k2

，x1x2=

48k2-16

1+4k2

，
y1y2=k2[x1x2-2

3

(x1+x2)+12]=

-4k2

1+4k2

．
把x₁x₂，y₁y₂代入

x1x2

16

+

y1y2

4

=0，
得：

48k2-16

1+4k2

-

16k2

1+4k2

=0，解得：k=±

2

2

；
（2）当直线AB斜率存在时，
设直线AB方程为：y=kx+m，联立

x2

16

+

y2

4

=1，
消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0，
∴△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-16）＞0，
x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-16

1+4k2

，
∴x₁x₂+4y₁y₂=x₁x₂+4（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+4k²）x₁x₂+4km（x₁+x₂）+4m²=0，
即（1+4k²）•

4m2-16

1+4k2

-

32k2m2

1+4k2

+4m²=0，
化简得m²-8k²-2=0，
S△AOB=

1

2

|-

m

k

||y1-y2|
=

1

2

|m||x₁-x₂|
=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

|m|

(- 8km 1+4k2 )2-4 4m2-16 1+4k2

=

1

2

|m|

64k2m2-16m2+64-64k2m2+256k2 (1+4k2)2

=

1

2

|m|

-16m2+64+256k2 (1+4k2)2

=

1

2

|m|

16m2 ( m2 2 )2

=4．
当直线AB斜率不存在时，
设直线AB方程为：x=t，（-4＜t＜4），
联立椭圆

x2

16

+

y2

4

=1，
解得y=±

16-t2

2

，
不妨设A（t，

16-t2

2

），B（t，-

16-t2

2

），
代入x₁x₂+4y₁y₂=0，得t=±2

2

，
此时S△AOB=

1

2

×2

2

×2

2

=4．
综上，三角形AOB的面积为定值4．

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积是否为定值的判断与求法，训练了平面向量在解题时的应用，注意函数与方程思想的合理运用，考查了学生的计算能力，是压轴题．