Question

9．已知函数f（x）=ax³+bx+12在点x=2处取得极值-4．
（1）求a，b的值
（2）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程，解出即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+b，
∵函数f（x）=ax³+bx+12在点x=2处取得极值-4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=-4}\\{f′（2）=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{4a+b+8=0}\\{12a+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-12}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得：f（x）=x³-12x+12，
f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜2，
∴f（x）在[-3，-2）递增，在（-2，2）递减，在（2，3]递增，
∴f（x）_min=f（-3）=-21，f（x）_max=f（-2）=28．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．