Question

9．已知奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a，b，c，d∈R），满足f（1）=1，若对任意的x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则实数a的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，4]．

Answer 1

分析 根据奇函数性质得出b=d=0，对a进行讨论，利用导数求出f（x）在[-1，1]上的单调性得出最值，根据f_max（x）≤1解出a的范围．

解答 解：∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），即-ax³+bx²-cx+d=-ax^3-bx²-cx-d，
∴b=d=0．
∵f（1）=a+c=1，∴c=1-a．∴f（x）=ax³+（1-a）x．
∵f（x）是奇函数，且对任意的x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1成立，
∴f_max（x）≤1，
f′（x）=3ax²+1-a，
（1）若a=0，则f（x）=x在[-1，1]上是增函数，∴f_max（x）=1，显然符合题意；
（2）若0＜a≤1，则f′（x）≥0，∴f（x）在[-1，1]上是增函数，∴f_max（x）=f（1）=1，符合题意；
（3）若a＞1，令f′（x）=0得x=±$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$，
∵$\frac{a-1}{3a}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3a}$$＜\frac{1}{3}$，
∴f（x）在[-1，-$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$]上单调递增，则（-$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$，$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$）上单调递减，在（$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$，1]上单调递增．
∵f（1）=1，∴f（-$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$）≤1，即$\frac{2}{3}$（a-1）$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$≤1，解得1＜a≤4．
（4）若a＜0，令f′（x）=0得x=±$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$，
①若$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$＜1，即a＜-$\frac{1}{2}$，则f（x）在[-1，-$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$]上单调递减，则（-$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$，$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$）上单调递增，在（$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$，1]上单调递减．
∵f（1）=1，∴f_max（x）＞f（1）=1，不符合题意．
②若$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$≥1，即a≥-$\frac{1}{2}$，则f（x）在[-1，1]上单调递增，则f_max（x）=f（1）=1，符合题意；
综上，a的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，4]．
故答案为[-$\frac{1}{2}$，4]．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，奇函数的性质，函数最值的计算，属于中档题．