题目内容

6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金$\frac{1}{2}$，第2关收税金$\frac{1}{3}$，第3关收税金$\frac{1}{4}$，第4关收税金$\frac{1}{5}$，第5关收税金$\frac{1}{6}$，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关，”则第8关需收税金为$\frac{1}{72}$x．

分析 第1关收税金：$\frac{1}{2}$x；第2关收税金：$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$）x=$\frac{1}{2×3}$x；第3关收税金：$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$）x=$\frac{1}{3×4}$x；…，可得第8关收税金．

解答 解：第1关收税金：$\frac{1}{2}$x；第2关收税金：$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$）x=$\frac{1}{2×3}$x；第3关收税金：$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$）x=$\frac{1}{3×4}$x；
…，可得第8关收税金：$\frac{1}{8×9}$x，即$\frac{1}{72}$x．
故答案为：$\frac{1}{72}$．

点评 本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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16．设集合A={x∈Z||x|≤2}，$B=\left\{{\left.x\right|\frac{3}{2x}≤1}\right\}$，则A∩B=（　　）
A．{1，2}B．{-1，-2}C．{-2，-1，2}D．{-2，-1，0，2}
17．已知i为虚数单位，则z=i+i2+i3+…+i2017=（　　）
A．0B．1C．-iD．i
14．若命题p：对任意的x∈R，都有x3-x2+1＜0，则￢p为（　　）
A．不存在x∈R，使得x3-x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3-x2+1＜0
C．对任意的x∈R，都有x3-x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3-x2+1≥0
1．如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC=135°．若山高AD=100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度为22.6m/s（精确到0.1）参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{5}$≈2.236．
11．已知i为虚数单位，若复数z满足（1-i）z=1+i，则|z|=（　　）
A．1B．$\sqrt{2}$C．$\sqrt{3}$D．2
18．为了解甲、乙两个教学班级（每班学生数均为50人）的教学效果，期末考试后，对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画如图甲班学生布线频率分布直方图和乙班学生成绩频数分布表，记成绩不低于80分为优秀．
（1）根据频率分布直方图及频数分布表，填写下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为：“成绩优秀”与所在教学班级有关．
甲班乙班总计
成绩优秀28   2048  
成绩不优秀223052
总计5050100
附：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
P（K2≥k）0.250.150.100.050.025
k1.3222.0722.7063.8405.024
（2）在甲、乙两个班成绩不及格（低于60分）的学生中任选两人，记其中甲班的学生人数为ξ，求ξ的概率分布列与数学期望．
15．己知函数f（x）=（x+l）lnx-ax+a （a为正实数，且为常数）
（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若不等式（x-1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．
18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过点F1作垂直于x轴的直线交椭圆C于M，N两点，若|MN|=3，且椭圆C上的离心率为$\frac{1}{2}$．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线AB的方程为3x+ty-3=0，且与椭圆C交于A，B两点，证明：$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{2}|}$是定值．

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