Question

已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为1．

   （I）求椭圆C的标准方程；

   （II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由，

Answer 1

解:(I）设，直线，由坐标原点到的距离为1

 则，解得.又，

所以

椭圆C的标准方程为

（II）椭圆C的方程为，设、

由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设

代入椭圆的方程中整理得，显然。

由韦达定理有：， ．①     

假设存在点P，使成立， 则点，

因为点P在椭圆上，即。

整理得。             

又在椭圆上，即.

故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②      

将及①代入②解得

-

所以，，即.

当时，；

当时，.