Question

15．将正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截去四个角后得到一个四面体BDA₁C₁，这个四面体的体积是原正方体体积的（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 设正方体边长为a，使用作差法求出四面体BDA₁C₁的体积，得出比值．

解答 解：设正方体边长为a，则V_{B-B′A′C′}=V_A′-ABD=V_{D-A′C′D′}=V_C′-BCD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×a$=$\frac{{a}^{2}}{6}$．
∴四面体BDA₁C₁的体积V=V_正方体-4V_{B-B′A′C′}=a³-$\frac{2{a}^{3}}{3}$=$\frac{{a}^{3}}{3}$．
∴这个四面体的体积是原正方体体积的$\frac{1}{3}$．
故选B．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，属于基础题．