Question

19．在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_na_n-1=2a_n-1（a≥2，n∈N^*），记数列{a_n}的前n项之积为T_n，若T_n=2017，则n的值为2016．

Answer 1

分析 由a_na_n-1=2a_n-1（a≥2，n∈N^*），得${a}_{n}=2-\frac{1}{{a}_{n-1}}$，${a}_{2}=\frac{3}{2}，{a}_{3}=\frac{4}{3}，{a}_{4}=\frac{5}{4}$，…，${a}_{n}=\frac{n+1}{n}$，数列{a_n}的前n项之积为T_n=$\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×…×\frac{n+1}{n}$=n+1即可．

解答 解：由a_na_n-1=2a_n-1（a≥2，n∈N^*），得${a}_{n}=2-\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
∵a₁=2，∴${a}_{2}=\frac{3}{2}，{a}_{3}=\frac{4}{3}，{a}_{4}=\frac{5}{4}$，…，${a}_{n}=\frac{n+1}{n}$．
数列{a_n}的前n项之积为T_n=$\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×…×\frac{n+1}{n}$=n+1，
∴当T_n=2017时，则n的值为2016，
故答案为：2016．

点评 本题考查了数列的递推式，考查了归纳推理能力，属于中档题．