Question

设抛物线过定点，且以直线为准线．

（1）求抛物线顶点的轨迹的方程；

（2）若直线与轨迹交于不同的两点，且线段恰被直线平分，设弦MN的垂直平分线的方程为，试求的取值范围．

Answer 1

解：（1）设抛物线的顶点为，则其焦点为．由抛物线的定义可知：． 所以，．

       所以，抛物线顶点的轨迹的方程为：  ．

       （2）因为是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一确定．所以，要求的取值范围，还应该从直线与轨迹相交入手．

显然，直线与坐标轴不可能平行，所以，设直线的方程为，代入椭圆方程得：

       由于与轨迹交于不同的两点，所以，，即：．（＊）

       又线段恰被直线平分，所以，．

       所以，．

       代入（＊）可解得：．

由于为弦MN的垂直平分线，设MN的中点．

在中，令，可解得：．

将点代入，可得：．

所以，．

另解．设弦MN的中点为，则由点为椭圆上的点，

可知：．

两式相减得：

又由于，

代入上式得：．

又点在弦MN的垂直平分线上，所以，．

所以，．

由点在线段BB’上（B’、B为直线与椭圆的交点，如图），所以，．

也即：．所以，