题目内容

设函数f（x）=n²x²（1-x）ⁿ（n为正整数），则f（x）在[0，1]上的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：对函数求导，令导数f′（x）=0，解得x的值，分析导函数的符号，确定函数在点x= $\text{[math]}$ 取极大值，即函数的最大值，代入函数解析式即可求得结果．
解答：f′（x）=2n²x（1-x）ⁿ-n×n²x²（1-x）^n-1=n²x（1-x）^n-1（2-2x-nx）=-n²x（1-x）^n-1[（n+2）x-2]=0
得x=0，或x=1，或x= $\text{[math]}$
f（x）在[0，1]上是x的变化情况如下：
∴f（x）在[0，1]上的最大值为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$

点评：此题考查利用函数的导数研究函数的最值问题，注意导数的运算法则的应用是正确解题的关键，考查运算能力，属中档题．

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