Question

如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR．
（1）设∠PAB=θ，长方形停车场PQCR面积为S，求S=f（θ）；
（2）求S=f（θ）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）设∠PAB=θ，求出AM和PM的值，进而可得PQ，PR 的值，由此求得S=PQ•PR 的值．
（2）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=

t2-1

2

，代入S化简得 S=

8100

2

(t-

10

9

)2+950，利用二次函数性质求出
S=f（θ）的最大值和最小值．

解答：解：（1）设∠PAB=θ，0°≤θ≤90°，
则AM=90cosθ，PM=90sinθ，…（2分）
RP=RM-PM=100-90sinθ，PQ=MB=100-90cosθ，…（4分）
S=PQ•PR=（100-90sinθ ）（100-90cosθ ）=10000-9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ． …（7分）
∴S=f（θ）=10000-9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ；
（2）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=

t2-1

2

．                 …（9分）
即t=

2

sin（θ+

π

4

），0≤θ≤

π

2

，1≤t≤

2

，…（11分）
代入S化简得 S=

8100

2

(t-

10

9

)2+950．
故当t=

10

9

时，S_min=950（m²）；
当t=

2

时，S_max=14050-9000

2

（m²） …（14分）

点评：本题主要考查解三角形的实际应用，三角函数的恒等变换，以及二次函数性质的应用，属于中档题．