Question

13．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0
（1）设直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|=$\sqrt{17}$，求直线l的倾斜角；
（2）求证：对m∈R，直线l与圆C恒有两个交点．

Answer 1

分析 （1）由已知圆的方程求出圆的半径，结合垂径定理得到圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式得答案；
（2）由已知得到圆心坐标和半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，放缩可得圆心到直线的距离小于圆的半径得答案．

解答 （1）解：由圆C：x²+（y-1）²=5，得半径r=$\sqrt{5}$，
又|AB|=$\sqrt{17}$，∴圆心C（0，1）到直线l：mx-y+1-m=0的距离d=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-（\frac{\sqrt{17}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由点到直线的距离公式得d=$\frac{|0-1+1-m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得m=$±\sqrt{3}$．
∴直线的斜率等于$±\sqrt{3}$．
故直线的倾斜角为$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$；
（2）证明：圆C：x²+（y-1）²=5的圆心C（0，1），半径为$\sqrt{5}$，
圆心C到直线l：mx-y+1-m=0的距离d=$\frac{|-m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}＜1＜\sqrt{5}$．
∴直线l与圆C相交，即对?m∈R，直线l与圆C恒有两个交点．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查了点到直线的距离公式，是中档题．